MATRIZ TRASPUESTA

Es el resultado de reordenar la matriz original mediante el cambio de filas por columnas y las columnas por filas en una nueva matriz.

En otras palabras, LA MATRIZ TRASPUESTA ES LA ACCIÓN DE SELECCIONAR LAS FILAS DE LA MATRIZ ORIGINAL Y REESCRIBIRLAS COMO COLUMNAS EN LA NUEVA MATRIZ E INVERTIR EL PROCESO PARA LAS COLUMNAS.

Generalmente cuando cambiamos las filas por columnas y las columnas por filas lo indicamos añadiendo su superíndice  T  o un apóstrofe en el nombre de la matriz original. Si añadimos el superíndice  T, deberemos tener presente que estamos trabajando con matrices y que el superíndice no es ningún exponente.

FÓRMULA DE UNA MATRIZ TRASPUESTA:    n x m

Dada una matriz  Z  cualquiera con  n filas y  m  columnas podemos construir la matriz traspuesta, Zᵀ, que tendrá  m  filas y  n  columnas.

La matriz transpuesta (o traspuesta) de la matriz  A  se denota por  Aᵀ  y es la matriz que tiene por filas a las columnas de  A  es de dimensión  m x n, entonces la dimensión de  Aᵀ  es  n x m.

(Aᵀ)ᵀ =

Ejemplo: suma de una matriz y de la matriz producto de un escalar por la transpuesta de una matriz:

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Efectúa las siguientes matrices transpuestas:

     
     


      
      


       

       

       

2.- Realiza las siguientes matrices traspuestas a matriz traspuesta:

       

       

3.- Crea y desarrolla 5 matrices traspuestas a matriz traspuesta, siguiendo los tres pasos.

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.

 

MATRIZ  DIAGONAL

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que LAS ENTRADAS DE LAS DIAGONALES DE LA MATRIZ SON TODAS NULAS salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz  D = (di,j) es diagonal sí:

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R oC) normal.

MATRICES DIAGONALES:

Una matriz cuadrada  A ∈ Mn(F) se denomina diagonal si todas sus entradas fuera de la diagonal principal son iguales a cero:

∀i, j ∈ {1, ..., n} i 6=j =⇒ Ai, j=0 . Una matriz diagonal con entradas diagonales  a1, ..., an  se denota por diag(a1, ..., an):

DEFINICIÓN DE MATRIZ DIAGONAL:

Una Matriz Diagonal es aquella matriz cuadrada es aquella en la que todos los elementos que no estén en la diagonal principal son iguales a 0:

A = {aij} es diagonal  ⇔ aij = 0  cuando i ≠ j

Notemos que las entradas diagonales de una matriz diagonal pueden ser iguales o cero.

Por ejemplo, la matriz cuadrada nula 0n,n  es una matriz diagonal. Es un error común pensar que las entradas diagonales de una matriz diagonal deben ser distintas de cero.

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Crea y demuestra 10 matrices diagonales, según el ejemplo anterior.

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MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos ce cero y todos los términos situados POR ENCIMA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL SON CEROS:

FORMA MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada de orden  n  que tiene un triángulo de ceros  (0)  por encima de la diagonal principal.

Se suele emplear las letras  U  y  L, respectivamente, (ya que  U  es la inicial de upper triangular matrix y  L  de lower triangular matrix, los nombres que reciben estas matrices en inglés).

 

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Crea y demuestra 10 matrices triangulares inferiores, según el ejemplo anterior.

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.

 

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

Es una matriz cuadrada de orden  n  que tiene un triángulo de CEROS  (0)  por debajo de la diagonal principal.

Toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados POR DEBAJO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL SON CEROS:

Normalmente, cuando se dice que hay que triangular la matriz, se refiere a que hay que hacer ceros los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal.

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Crea y demuestra 10 matrices triangulares superiores, según el ejemplo anterior.

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.

 

MATRIZ  ESCALAR

Es aquella matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal tienen el mismo valor.

NOTA: 

Recordar que una matriz diagonal es aquella matriz cuadrada que tiene todos sus valores iguales a cero excepto los de su diagonal principal.

La matriz escalar es toda MATRIZ DIAGONAL donde todos los elementos de la diagonal principal SON IGUALES:

 

RETO:

En una hoja bond,  realiza los siguientes ejercicios:

1.- Crea y demuestra 10 matrices escalares según los ejemplos anteriores.

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MATRIZ CUADRADA

La matriz cuadrada es una tipología de matriz, muy básica que se caracteriza por tener el mismo orden tanto de filas como de columnas.

En otras palabras, una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas (n) y el mismo número de columnas (m). 

LA REPRESENTACIÓN DE UNA MATRIZ CUADRADA

Se puede crear infinitas combinaciones de matrices cuadradas siempre y cuando respetemos la restricción de que EL NÚMERO DE COLUMNAS Y FILAS TIENE QUE SER EL MISMO.

MATRIZ CUADRADA DE ORDEN n

Dado que en una matriz cuadrada el número de FILAS (n) es IGUAL AL NÚMERO DE COLUMNAS (m), matemáticamente decimos que  n=m. Entonces, partiendo de esta igualdad, basta con solo indicar el NÚMERO DE FILAS (n) QUE TIENE LA MATRIZ.

¿por qué?, porque sabiendo el número de filas (n) también sabremos el número de columnas (m) dado que n=m.

El orden nos indica el número de filas (n) y columnas (m) que tiene una matriz. En el caso de la matriz cuadrada, con tan solo indicando el orden de las filas (n) ya sabremos el orden de las columnas (m). Entonces, cuando nos digan que una matriz cuadrada es de orden n, querrá decir que la matriz tiene n filas y n columnas dado que  n=m  y  m=n.

MATRIZ CUADRADA

Decimos que una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas.

DIAGONAL PRINCIPAL

Está formado por todos los elementos.

La diagonal principal de una MATRIZ CUADRADA es una línea recta imaginaria con pendiente negativa que empieza por el extremo superior izquierdo y acaba en el extremo inferior derecho de la matriz.

En otras palabras, la diagonal principal es una línea recta con pendiente que podemos trazar encima de la matriz desde el primer elemento hasta el último.

La diagonal principal de la matriz X es:

Matriz cuadrada con la diagonal principal marcada en verde.

Desde la parte analítica, también podemos recordar que la DIAGONAL PRINCIPAL ES UNA LÍNEA RECTA QUE TIENE PENDIENTE NEGATIVA. Entonces, para tener pendiente negativa, la diagonal tiene que empezar en el extremo superior izquierdo y terminar en la parte inferior derecha.

UNA VEZ TRAZADA LA DIAGONAL PRINCIPAL VEREMOS QUE NOS QUEDAN DOS TRIÁNGULOS SIMÉTRICOS POR ENCIMA Y POR DEBAJO DE LA DIAGONAL. Este resultado es señal de que lo hemos hecho bien.

EJERCICIOS RESUELTOS

1.- Encuentra la diagonal principal de las siguientes matrices:

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Encuentra la diagonal principal de las siguientes matrices:

      

      

      
       

       

         

   

 2.- Crea y desarrolla 5 ejercicios más, de acuerdo a los ejemplos anteriores.

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES.

 

MULTIPLICAR  MATRICES

Estas matrices en multiplicación consiste en combinar linealmente dos o más matrices mediante la adición de sus elementos dependiendo de su situación dentro de la matriz origen respetando el orden de los factores.

En otras palabras, la multiplicación de dos matrices es unificar las matrices en una sola matriz mediante la multiplicación y suma de los elementos de las filas y columnas de las matrices origen teniendo en cuenta el orden de los factores.

En MATEMÁTICA, la multiplicación o producto de matrices es la OPERACIÓN de COMPOSICIÓN efectuada entre dos matrices, o bien la MULTIPLICACIÓN entre una matriz y un ESCALAR según unas determinadas reglas.

Al igual que la multiplicación ARITMÉTICA, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un ALGORITMO capaz de efectuarla. 

El ALGORITMO para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices  no cumple con la propiedad de CONMUTATIVIDAD.

Dada una matriz  A  de  m  filas y  n  columnas es una matriz del tipo:

La MULTIPLICACIÓN de  A  por un escalar  K, que se denota K.A, KxA o simplemente KA es:

En el caso particular de multiplicación por enteros, se puede considerar como SUMAR o RESTAR la misma matriz tantas veces como indique el escalar:

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Usted, solo puede multiplicar DOS MATRICES si sus DIMENSIONES son COMPATIBLES, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. 

Si  A  es una matriz  a x b  y  B es una matriz  b x c , el producto  AB es untha matriz a x c. La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón  ith  de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón jth de  B  y luego se suman los resultados. 

La multiplicación de matrices NO es conmutativa.

Si , ni A ni B son una matriz identidad, AB  ≠ BA.

MULTIPLICANDO UN RENGLÓN POR UNA COLUMNA

 Comencemos por mostrar cómo se multiplica una matriz  1 x n  por una matriz  n x 1. 

La primera solo tiene un reglón, y la segunda es de una columna. 

Por la regla anterior, el producto es una matriz  1 x 1; en otras palabras, un número solo. Primero, vamos a nombrar las entradas en el renglón como  r1 ,  r2 , ..., rn  , y las entradas en la columna como  c1 ,  c2 , ...,  cn . Luego el producto del renglón y de la columna es la matriz  1 x 1.

MULTIPLICANDO MATRICES MÁS GRANDES

Ahora que ya sabemos cómo multiplicar un RENGLÓN POR UNA COLUMNA, multiplicar matrices más grandes es fácil. Para la entrada en el renglón  ith  de la matriz por la entrada correspondiente en el renglón  jth  de la segunda matriz y sume los resultados.

Vamos a realizar el siguiente problema:

Multiplicar una matriz 2 x 3 con una matriz  3 x 2, para obtener una matriz  2 x 2 como el producto. Las entradas de la matriz producto. Las entradas de la matriz producto son llamadas  eij  cuando están en el renglón  ith  y en la columna  jth.

Como podemos observar, tenemos que multiplicar una matriz  1 x 3  por una matriz  3 x 1  . El número de columnas en la primera es igual al número de renglones en la segunda, así son compatibles.

EJERCICIOS RESUELTOS

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- 

2.- 

3.- 

  

4.- Crea y desarrolla 3 ejercicios más, de acuerdo al ejemplo anterior.

5.- 

6.- Crea y desarrolla 3 ejercicios más, de acuerdo al ejemplo anterior.

 

RESTA DE MATRICES

Para comprender la noción de RESTA DE MATRICES, primero, debemos saber qué son las matrices en el ámbito de la matemática.

Una matriz es una serie de símbolos y/o  números que se ubican en líneas verticales y horizontales y que se disponen como rectángulo.

Cada uno de los números que componen este arreglo en DOS DIMENSIONES al que llamamos matriz se denomina ENTRADA, y debe estar ordenado en FILAS (que también se conocen con el nombre de renglones) y COLUMNAS, como se menciona en el párrafo anterior. 

La forma de referirse a una matriz con un número  n  de FILAS y uno  m  de COLUMNAS es matriz n x m (nótese que la x es el signo de multiplicación, por lo cual se lee "por").

Es importante señalar que las matrices tienen diversas aplicaciones, algunas de las cuales se resumen a continuación.

TEORÍA DE MATRICES:

Una rama de las matemáticas que se relaciona con el álgebra, la estadística, la combinatoria y la TEORÍA de grafos.

ESPACIOS VECTORIALES:

Son estructuras que se componen de vectores. En este contexto, si se toman dos cuyas dimensiones sean finitas, una matriz puede servir para realizar entre ellos una aplicación lineal.

Con estas matrices, se pueden desarrollar diferentes OPERACIONES, sin embargo, deben cumplirse ciertas condiciones para que las operaciones se puedan concretar.

En el caso de la RESTA DE MATRICES, es imprescindible que las matrices en cuestión dispongan de IDÉNTICAS DIMENSIONES (deben contar con la misma cantidad de columnas y de filas).

Para restar dos matrices, por lo tanto, se deben restar entre sí aquellos componentes que se sitúan en la misma POSICIÓN. 

Ejemplo:

Comenzamos con la PRIMERA COLUMNA (es decir, con los NÚMEROS en sentido vertical):

LA PRIMERA COLUMNA

2 - 6 = -4

3 - 2 = 1

5 - (-1) = 6

LA SEGUNDA COLUMNA

5 - (-2) = 7

2 - 4 = -2

-6 - 8 = -14

LA TERCERA COLUMNA

-4 - 3 = -7

1 - 5 = -4

3 - 5 = -2

De este modo, sólo nos queda ORDENAR LOS NÚMEROS para obtener el RESULTADO de esta RESTA DE MATRICES, como se puede apreciar en esta segunda imagen.

• La resta de matrices, en definitiva, consiste en restar los distintos componentes de cada matriz, siempre respetando el lugar que ocupan en la estructura. Si las matrices tuvieran distinta cantidad de componentes, la operación no se puede completar. Cabe mencionar que lo mismo ocurre con la adición (o suma) de matrices. Sin embargo, no existe una restricción con respecto a la proporción que debe haber entre el número de filas y columnas.
• Se conoce con el nombre de MATRIZ  CUADRADA a aquella que posee la misma cantidad de columnas que de filas, ya que el aspecto que tienen cuando se las grafica es el de un cuadrado. Como se menciona en el párrafo anterior, es perfectamente posible restar (y sumar) dos matrices cuyas formas no sean cuadradas: lo importante es que para cada par haya uno correspondiente.

Es fundamental comprender que tanto este concepto como muchos otros de las matemáticas pueden servirnos en la vida cotidiana, y que no se trata de temas destinados a unos pocos con capacidades especiales. E s muy probable que la mayoría de las personas elaboren matrices más seguido de lo que creen, aunque no las reconozcan como tales; después de todo, se trata de una técnica para relacionar y organizar datos. 

La resta de matrices, así como otras operaciones, también solemos aplicarlas en dos listas de ELEMENTOS correspondientes entre sí, necesitamos saber qué cantidad queda de los primeros una vez que son afectados por los segundos.

DEFINICIÓN DE RESTA DE MATRICES

La RESTA DE MATRICES, es aquella operación que consiste en restar los elementos que tienen la misma posición en ambas matrices.

Sean las matrices:

Amxn = (aij) ,  Bmxn = (bij)

Amxn - Bmxn = (aij) - (bij)    

      

NOTA: Para restar dos matrices, estas tienen que tener la misma dimensión, es decir, el mismo número de filas (m) y de columnas (n).

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-

2.- 

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- 

2.- Hacer 3 ejercicios:

De 4x4 con los signos a igual que el ejemplo.

3.- Hacer 3 ejercicios:

De 5x4 con los signos a igual que el ejemplo.

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.