VALOR ABSOLUTO

La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al VALOR que tiene un tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que tiene se conoce como MÓDULO, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.

Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es ⏐5⏐.

La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es IGUAL o MAYOR QUE 0 y NUNCA ES NEGATIVO. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el valor absoluto de los números opuestos es el mismo.

Por ejemplo:

8 y -8, de este modo, comparten el mismo valor absoluto: ⏐8⏐.

También se puede entender el valor absoluto como la DISTANCIA que existe entre el número y 0. El número 563 y el número -563 están, en la recta numérica, a la misma distancia del 0. Ese, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: ⏐563⏐.

Por ejemplo:

3 y -3 están, en la recta numérica, a la misma distancia del 0.

La distancia que existe entre dos NÚMEROS REALES, por otra parte, es el valor absoluto de su distancia. Entre 5 y 3, por ejemplo, hay una distancia de 2. Esta diferencia tiene un valor absoluto de ⏐2⏐.

El concepto de valor absoluto se encuentra presente en varios temas de las matemáticas, y el VECTOR es uno de ellos; precisamente, es en la NORMA VECTORIAL donde nos vemos frente a una definición similar. Antes de continuar sin embargo, es necesario definir ESPACIO EUCLÍDEO, ya que dichos conceptos se conjugan en este ámbito.

Entendemos por ESPACIO EUCLÍDEO, a una clase de espacio geométrico en el cual se satisfagan LOS AXIOMAS DE EUCLIDES.

Un AXIOMA, es una proposición cuya claridad es tal que no requiere de una demostración para ser admitida; específicamente ene l terreno de las matemáticas, se denomina de este modo a LOS PRINCIPIOS FUNDAMENTALES E INDEMOSTRABLES SOBRE LOS CUALES SE CONSTRUYEN LAS TEORÍAS.

EUCLIDES, por su parte, nació en Grecia aproximadamente en el año 325 a. C., y su dedicación a los números lo hicieron merecedor del título "Padre de la Geometría". Su obra más importante es una colección de trece libros agrupados bajo el título "Elementos", donde se presentan los axiomas antes mencionados (también conocidos como LOS POSTULADOS DE EUCLIDES), y que veremos brevemente a continuación:

1. Si tomamos dos puntos cualquiera, es posible unirlos por medio de una recta;
2. Es posible prolongar de forma continua todos los segmentos, sin importar el sentido;
3. Las circunferencias pueden originarse a partir de cualquier punto, que será tomando como su centro, y SU RADIO puede adquirir cualquier valor;
4. Cualquier par de ángulos rectos es congruente;
5. Es posible, trazar una sola recta paralela a otra a partir de un punto exterior a esta última.

Habiendo expuesto las bases de los espacios euclídeos, podemos decir, que los vectores se pueden representar en ellos en forma de segmentos que se orientan entre dos puntos cualesquiera. Si tomamos un vector, podemos definir su NORMA como la distancia que existe entre dos puntos, los cuales le sirven de límite, o sea con la longitud de dicho vector.

Así como el valor absoluto, el MÓDULO de un vector siempre es un número positivo o cero, ya que representa una longitud, una distancia. En este caso, así como en muchos otros, asociar esta magnitud a un signo podría ocasionar complicaciones innecesarias.

En el campo de la programación de videojuegos, por otro lado, el valor absoluto puede aparecer en numerosas ocasiones, según la metodología de cada desarrollador. Por ejemplo, al calcular la VELOCIDAD actual de un personaje podemos ignorar la dirección en la que se esta desplazando y simplemente contemplar el segmento que existe entre 0 y la velocidad máxima, aplicando la aceleración según corresponda; finalmente, basta multiplicar el valor resultante por el vector dirección del personaje para trasladarlo.

Todas las distancias son positivas y por lo mismo, el valor absoluto de un número, que es una distancia, debe ser positivo. Esto se debe a que una distancia no puede ser negativa, ya que no tendría sentido. La manera formal:

• ⏐a⏐ = a      si      a ≥ 0
• ⏐a⏐ = -a     si      a < 0                     

PROPIEDADES FUNDAMENTALES

⏐a⏐ ≥ 0                                 No negatividad

⏐a⏐ = 0   ⇔   a = 0               Definición positiva

⏐ab⏐ = ⏐a⏐·⏐b⏐                     Propiedad multiplicativa

⏐a + b⏐ ≤ ⏐a⏐ + ⏐b⏐              Desigualdad triangular

Ejemplos:

1.-     ⏐5x⏐ = ⏐5⏐·⏐x⏐ =  5⏐x⏐

2.-      ⏐-3y⏐ = ⏐-3⏐·⏐y⏐ = 3⏐y⏐

3.-     ⏐7x²⏐ = ⏐7⏐·⏐x²⏐ =  7⏐x²⏐ = 7x²  Debido a que x² nunca es negativo para cualquier número x.

4.-      ⏐6x/-3x²⏐ = ⏐2/-x⏐ = ⏐2/-x⏐ = 2/⏐x⏐

EJERCICIOS RESUELTOS

1.-      ⏐6 + 10⏐ = ⏐16⏐ = 16

2.-       ⏐-20 + 13⏐ = ⏐-7⏐ = 7

3.-       ⏐-15 + 20⏐ = ⏐5⏐ = 5

4.-       ⏐-20⏐ + ⏐-15⏐ - ⏐25⏐ 

               20   +    15   -  25

                         35      -  25

                                10

5.-      ⏐6 - 20⏐ = ⏐-14⏐ = 14

6.-       ⏐-3⏐ - 5 = 3 - 5 =  -2

7.-       ⏐-3 -5⏐ = ⏐-8⏐ =  8

8.-       ⏐(- 2 + 7 + 3)⏐ - ⏐-5 - 4⏐ + ⏐-(9 - 2)⏐ + ⏐-3⏐ 

                     ⏐8⏐         -    ⏐-9⏐   +     ⏐7⏐      +  ⏐-3⏐ 

                       8           -       9     +       7        +     3

                                  -1               +               10

                                                     9

                                     

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.-      ⏐-2 - 28⏐ + ⏐-5 + 13⏐ =

2.-      ⏐-(2 + 8)⏐ + ⏐-13⏐ =

3.-      -⏐-2 (5 - 4)⏐ - ⏐9 - 3⏐ =

4.-      ⏐(-2 + 7)⏐ - ⏐-5⏐ + ⏐(9 - 6⏐ - ⏐-8⏐ =

5.-      ⏐-15⏐ + ⏐+ 4⏐ - ⏐+ 18⏐ + ⏐-25⏐ - ⏐+ 46⏐ + ⏐+ 12⏐ =

6.-      ⏐+ 42 - 88⏐ - ⏐-25 + 11⏐ + ⏐+ 19 - 39⏐ - ⏐7 - 53⏐ =

7.-      -⏐-(5 - 4)⏐ - ⏐+(+ 45 - 94)⏐ + ⏐+ 9 - 12⏐ =

8.-      ⏐+ 3 - 5⏐ - ⏐+ 13 - 40⏐ + ⏐- 33 + 4⏐ + ⏐-2 + 5⏐ =

9.-      ⏐(-32 +76)⏐ + ⏐98 - 53⏐ + ⏐(19 - 36)⏐ + ⏐-7 - 8⏐ =

10.-    ⏐-13 + 33⏐ - ⏐-(-2 + 7)⏐ + ⏐-5 - 6⏐ + ⏐(+ 9 - 6)⏐ - ⏐-8⏐ =

RECUERDA: Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.