NÚMEROS IRRACIONALES: FRACCIONES: SUMA Y RESTA.

 

NÚMEROS REALES

Un número es la expresión de una cantidad con relación a su unidad.

El término proviene del latín NUMĔRUS y hace referencia a un SIGNO o un CONJUNTO DE SIGNOS.

La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos.

Los NÚMEROS NATURALES, por ejemplo, incluyen al uno (1), dos (2), tres (3), cuatro (4), cinco (5), seis (6), siete (7), ocho (8), nueve (9) y, por lo general, al cero (0).

Los NÚMEROS REALES, son los que pueden ser expresados por :

Un número entero  (3,    28,     1568)  o

Un número decimal  (4,28;    289,6;    39985,4671)

Esto quiere decir, que abarcan a:

• Los NÚMEROS RACIONALES (que pueden representarse como el cociente de dos enteros como denominador distinto a cero) y
• Los NÚMEROS IRRACIONALES (los que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador diferente a cero).

Otra clasificación de los números reales puede realizarse entre NÚMEROS ALGEBRAICOS (un tipo de números complejos) y NÚMEROS TRASCENDENTALES (un tipo de números irracionales).

Más concretamente nos encontramos con el hecho de que los números reales se clasifican en :

NÚMEROS RACIONALES 

• ENTEROS: 

           a) Naturales:

               - Naturales primos.

               - Naturales compuestos.

           b) 0

           c) Enteros negativos.

• FRACCIONARIOS:

          a) Fracción propia.

          b) Fracción impropia.

NÚMEROS IRRACIONALES

NÚMEROS REALES

Los números reales son EL CONJUNTO QUE INCLUYE LOS NÚMEROS NATURALES, ENTEROS, RACIONALES E IRRACIONALES. Se representa con la letra ℜ.

La palabra REAL se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, 0 , √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos.

CARACTERÍSTICAS DE LOS NÚMEROS REALES

Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.

ORDEN.- Todos los números reales tienen un orden: " mayor que" > y "menor que" <.

Por ejemplo:

1>2>3>4>5...

...-5<-4<-3<-2<-1<0...

En el caso de las fracciones y decimales:

0,550<0,560<0,565...

3/15, 4/17, 5/18, 6/19, 7/20, 8/21, ...

INTEGRAL.- La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en ese conjunto de números. Estos significa que cada conjunto que tiene un límite superior, tiene un límite más pequeño.

Por ejemplo:

INFINITUD.- Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo.

EXPANSIÓN DECIMAL.- Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. . Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo.

Cada número real se puede escribir como un decimal.

Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por ejemplo, el número "pi" 𝜋 es aproximadamente 3,14159265358979...

NÚMEROS NATURALES

De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... hasta el infinito.

El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula ℕ.

Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que reciben el nombre de DÍGITOS.

Ejemplo:

Los números naturales nos sirven para decir:

• Cuántos compañeros tenemos en clase,

          

• La cantidad de flores que hay en un ramo y

           

• El número de libros que hay en una biblioteca.

           

NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de los números enteros comprende los números naturales sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números enteros negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula ℤ y se representa como:

ℤ = { ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}

Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de  n   es  -n  ya que:

n + (-n) = 0

5 + (-5) = 0

27 + (-27) = 0

Los enteros positivos son número mayores que cero, mientras que los números menores que cero con los enteros negativos.

Los números enteros nos sirven para:

Representar números positivos:

• Ganancias,
• Grados sobre cero,
• distancias a la derecha.

Representar números negativos:

• Deudas,
• Pérdidas,
• Grados bajo cero y 
• Las distancias a la izquierda.

Ejemplo:

• En el polo norte la temperatura está por debajo de 0° C, durante casi todo el año, entre -43° C y 15° C en invierno.

           

          

• Una persona compra un vehículo por 10,000 dólares pero solo tiene 3,000 dólares.

           

3,000 - 10,000 = -7,000

           Esto significa, que queda debiendo 7,000 dólares.            

NÚMEROS RACIONALES

Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como:

• La longitud,
• El volumen y 
• El peso.

Llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra ℚ:

ℚ = { p/q∖p,q ∈ ℤ, q≠ 0 }

Ejemplos:

• Una pizza dividida entre tres personas se representa como 1/3, un tercio para cada persona.

           

• Una décima parte de un metro es 1/10 m = 0,1 m.

           

LAS FRACCIONES :

Son la representación de las partes de un todo.

Cuando dividimos algo en partes iguales y tomamos una cierta cantidad de estas, la forma de mostrarlo es a través de fracciones.

Lo que estamos dividiendo en un entero y cada parte es una fracción de ese entero.

PARTES DE UNA FRACCIÓN

En las fracciones, el número que va arriba (término superior) es el numerador, que son las partes que se ha tomado de un todo.

El número que va abajo es el total de partes en que se dividió el entero y de llama denominador.

Ejemplo:

Si cortamos una pizza en 8 partes iguales, cada tajada es un octavo (1/8) del total. 

Si te comes tres tajadas, puedes decir que comiste tres octavos (3/8) de la pizza. En este caso el denominador siempre será 8.

TIPOS DE FRACCIONES:

FRACCIÓN PROPIA.- Son fracciones en que el numerador es menor que el denominador, es decir, representa un número menor que un entero.

Ejemplo:

Un quinto:

Cinco octavos

Treinta centésimos.

FRACCIÓN IMPROPIA.- Son fracciones en que el numerador es mayor que el denominador, es decir, representa un numerador mayor que el entero.

Por ejemplo:

Ocho quintos:

Tres medios:

Once octavos.

FRACCIÓN APARENTE.- Son fracciones en que el numerador es múltiplo del denominador, es decir, representa un número entero escrito en forma de fracción.

Por ejemplo:

Dieciséis octavos, que vendría a ser igual a dos.

FRACCIÓN MIXTA.- La fracción mixta combina partes enteras con fracciones propias. Es lo mismo decir, que tenemos más de una cosa dividida en la misma cantidad de porciones.

Por ejemplo:

Tienes dos sandías y cada una las picas en seis, pero solo se comen ocho pedazos, lo cual vendría a se un entero y dos sextos:

FRACCIONES COMUNES Y DECIMALES:

FRACCIÓN COMUNES.- Son aquellas cuyo denominador no es la unidad seguida de ceros.

Ejemplo:

Un tercio:

Dos séptimos:

Cinco onceavos:

FRACCIÓN DECIMALES.- Son aquellas cuyo denominador es la unidad seguida de ceros.

Ejemplo:

Cinco décimos:

Veintitrés centésimas:

Una milésima.

NÚMEROS IRRACIONALES

Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como una división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula 𝕀.

Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables son también irracionales.

Por ejemplo:

La relación de la circunferencia al diámetro el número 𝝅 = 3,141592...

Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario, son números irracionales:

√2, √3, √5, √7

FRACCIONES HOMOGÉNEAS Y HETEROGÉNEAS:

FRACCIÓN HOMOGÉNEAS.- Son las que comparten el mismo denominador.

Ejemplo:

FRACCIONES HETEROGÉNEAS.- Con las que poseen distinto denominador.

Ejemplo:

PROPIEDAD DE LOS NÚMEROS REALES

1. La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si  a  y  b  ∈ ℜ, entonces a + b ∈ ℜ.
2. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a + b = b + a.
3. La suma de números es asociativa, es decir, (a + b) + c = a + (b + c).
4. La suma de un número real y cero es el mismo número; a + 0 = a.
5. Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que la suma es igual a 0: a + (-a) = 0.
6. La multiplicación de dos números reales es cerrado: si  a  y  b  ∈ ℜ, entonces  a . b ∈ ℜ.
7. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces  a . b = b . a
8. El producto de números reales es asociativo:  (a . b) . c = a(b . c)
9. En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a . 1 = a
10. Para cada número real  a  diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que:  a . a₋₁ = 1
11. Si  a, b y c  ∈ ℜ, entonces a(b + c) = (a . b) + (a . c)

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS

PASOS PARA RESOLVER:

PASO 1: Se suman o restan los numeradores (los números de arriba).

PASO 2: Los denominadores (números de abajo) se dejan igual.

PASO 3: Se simplifica la fracción (si es necesario).

Ejemplo 1:

                

Ejemplo 2:

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS

SUMA DE FRACCIONES APLICANDO EL TEOREMA

Ejemplo:

Ejemplo:

RESTA DE FRACCIONES APLICANDO EL TEOREMA

Ejemplo:

Ejemplo:

SUMA DE FRACCIONES APLICANDO EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

PASOS PARA RESOLVER:

PASO 1: Obtener un mínimo común múltiplo entre los denominadores de ambas fracciones.

PASO 2: Este nuevo denominador los dividiremos entre el denominador de la primera fracción y luego se multiplica por el numerador de esta misma fracción.

PASO 3: Seguidamente se realizará este mismo procedimiento con las demás fracciones.

PASO 4: Al tener este resultado se hará la suma de los numeradores.

PASO 5: El resultado será el nuevo numerador y el denominador será el ya obtenido.

PASO 6: Y luego, se simplificará la fracción si es posible.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

RESTA DE FRACCIONES APLICANDO EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

PASOS PARA RESOLVER:

PASO 1: Obtener un mínimo común múltiplo entre los denominadores de ambas fracciones.

PASO 2: Este nuevo denominador los dividiremos entre el denominador de la primera fracción y luego se multiplica por el numerador de esta misma fracción.

PASO 3: Seguidamente se realizará este mismo procedimiento con las demás fracciones.

PASO 4: Al tener este resultado se hará la resta de los numeradores.

PASO 5: El resultado será el nuevo numerador y el denominador será el ya obtenido.

PASO 6: Y luego, se simplificará la fracción si es posible.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

RETO:

En una hoja bond, realiza los siguientes ejercicios:

1.- Calcula:

    

2.- Calcula:

     

3.- Calcula aplicando el teorema:

      

4.- Calcula aplicando el teorema:

      

5.- Calcula aplicando el mínimo común múltiplo:

      

6.- Calcula aplicando el mínimo común múltiplo:

      

RECUERDA:

Éste trabajo lo guardarás en un folder que será el portafolio donde archivarás las evidencias de tu trabajo y tus aprendizajes.